ЗАДАЧА 2.13
У крамницю для продажу надходить 50% продукції з I фабрики, 30% з II фабрики, 20% з III фабрики. Брак продукції цих фабрик становить 2, 3 та 5% відповідно. Знайти ймовірність того, що навмання куплений у магазині виріб буде бракований.
Рішення:
Нехай подія А - навмання куплений у магазині виріб буде бракований.
Ця подія може відбутися за умови реалізації однієї з гіпотез:
Н1 – продукція надійшла з I фабрики;
Н2 – продукція надійшла з II фабрики;
Н3 – продукція надійшла з III фабрики.
Ці гіпотези утворюють повну групу подій і їх ймовірності дорівнюють:
Р(Н1) = 0,5
Р(Н2) = 0,3
Р(Н3) = 0,2
Відповідні умовні ймовірності дорівнюють:
РН1(А) = 0,02
РН2(А) = 0,03
РН3(А) = 0,05
За формулою повної ймовірності маємо:
Р(А) = Р(Н1) х РН1(А) + Р(Н2) х РН2(А) + Р(Н3) х РН3(А) =
= 0,5 х 0,02 + 0,3 х 0,03 + 0,2 х 0,05 = 0,01 + 0,009 + 0,01 = 0,029
ВІДПОВІДЬ: P3(1) = 0,029
ЗАДАЧА 5.10
Неперервна випадкова величина Х задана своєю функцією розподілу F(X). Побудувати графік функції F(X), знайти щільність розподілу, математичне сподівання і дисперсію, а також ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення в інтервалі (a; b), де a = -10; b = -4,2
0, x ( -5
F(X) = -x2 – 8x -15; -5 ( x ( -4
1, x ( -4
Рішення:
Графік функції F(x) має вигляд: (рис.1)
F(X)
1
-5 -4 0 x
Рис.1
Знайдемо диференціальну функцію розподілу – щільність розподілу f(x):
0, x ( -5
f(x) = -2x – 8; -5 ( x ( -4
0, x ( -4
Знайдемо математичне сподівання М(Х):
b - 4 - 4
M(X) = (xf(x)dx = ( (-2x2 – 8x)dx = -2x3/3 - 8 = -2/3(-125 + 64) – 8 =
a -5 - 5
=122 /3 – 8 = 40,6 – 8 = 32,6
Знайдемо дисперсію D(X):
b - 4 - 4
D(X) = (x2f(x)dx – M2(X) = ( (-2x3 – 8x2)dx – (32,6)2= -2x4/4 – 8x3/3 - 1062,76 =
a -5 -5
- 4
= - x4/2 – 2,6x3 - 1062,76 = (-1/2(625 – 256) – 2,6(-125 + 64)) - 1062,76 =
-5
= (- 184,5 + 158,6) – 1062,76 = -25,9 -1062,76 = 1036,86
Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення в інтервалі
(-10; - 4,2):
b - 4,2 - 4,2
P(-10 ( X ( -4,2) = ( f(x)dx = ( -(2x – 8)dx = -x2 ( P(-10 ( X ( -4,2) ( 1, f(x)=0 при x ( -5
a -10 -10
отже випадкова величина Х при значенні a = -10 ніколи не набуде значення в даному інтервалі.
0, x ( -5
ВІДПОВІДЬ: f(x) = -2x - 8; -5 ( x ( -4
0, x ( -4
М(Х) = 32,6; D(X) = 1036,86;
P(-10 ( X ( -4,2) ( 1, випадкова величина Х при значенні a = -10
ніколи не набуде значення в даному інтервалі.
ЗАДАЧА 7.23
Вивчається рентабельність малих підприємств харчового виробництва. В результаті обсте...
